Tässä tutkimme, millainen todennäköisyysjakauma saadaan, kun mitataan spinpareja (esim. hopea-atomeita). Olemme kiinnostuneita erityisesti sitä, missä määrin spinien mittaustulokset riippuvat toisistaan.

 

Tätä varten kannattaa kuvitella alla olevan kuvan mukainen asetelma:

Kolme henkilöä, Alice, Bob ja Charlie valmistelevat ja mittaavat spinpareja. Oletamme erityisesti, että Charliella on käytettävissään rajattomasti spinejä ja häneltä löytyy kaikki tarvittavat laitteet, joilla hän saa ne haluamaansa tilaan (kunhan tila on fyysisesti mahdollinen). Charlie valmistaa siis spinpareja jossakin tilassa ja lähettää yhden spineistä Alicelle ja toisen Bobille. Sitten Alice ja Bob mittaavat kumpikin oman spininsä käyttäen Sternin-Gerlachin laitetta (katso kohta kvanttitila), jonka suunnan he ovat yhdessä sopineet ja näin he voivat vertailla mittaustuloksia keskenään. Charlien tavoitteena on, että Alice ja Bob saisivat aina keskenään saman tuloksen, vaikka tämä tulos olisikin satunnainen.

Charlien ensimmäinen strategia on heittää kolikkoa: jos hän saa kruunan, hän valmistaa spinit tilaan $|\uparrow\rangle$ ja jos klaavan, hän valmistaa spinit tilaan $|\downarrow \rangle$. Sen jälkeen hän lähettää spinit Alicelle ja Bobille, jotka mittaavat nämä pystysuunnassa. Kuten Questin kohdassa mittaus kerrotaan, jos Alice ja Bob saavat spinin tilassa $|\uparrow \rangle$, he mittaavat varmasti tuloksen “ylös”, ja jos spin on tilassa $|\downarrow \rangle$, tulos on varmasti alas. Lukuisia kolikonheittoja ja spininmittauksia myöhemmin Alice ja Bob tapaavat ja vertailevat tuloksiaan: yksittäin he saivat tuloksen “ylös” tai “alas” todennäköisyydellä $p=1/2$ täysin satunnaisesti, mutta heidän mittaustuloksensa olivat joka kierroksella täsmälleen samat.

Seuraavaksi he päättävät toistaa kokeen pienellä erolla: Charlie jatkaa tilojen $|\uparrow\rangle$ ja $|\downarrow \rangle$ valmistamista tuttuun tapaan kolikkoavusteisesti, mutta tällä kertaa Alice ja Bob mittaavatkin spinin vaaka- eli $x$-komponentin. Millä todennäköisyydellä mittaustulos on “vasen” ja millä “oikea”? Yritä arvata vastaus ennen kuin luet sen. (Vihje: katso kohta mittaus.)

Analysoidaan tilannetta: oletetaan, että Charlie sai kruunan, joten hän valmistaa kaksi spiniä tilaan $|\uparrow\rangle$. Alice saa siis spinin, joka on tilassa $|\uparrow\rangle$ ja mittaa sen vaakasuuntaisen komponentin: tulos on “vasen” tai “oikea” todennäköisyydellä $p=1/2$. Bobin tilanne on samanlainen. Mutta saavatko Alice ja Bob välttämättä keskenään saman tuloksen? No, ainoa tietomme on, että spinit on valmistettu tilaan $|\uparrow\rangle$ erikseen, joten voimme pitää niitä kahtena eri spininä, jotka tulevat pystysuuntaisesta SG-laitteesta. Siispä vaakasuuntaisen komponentin mittaustulos on täysin satunnainen. Ei siis ole mitään syytä olettaa, että Alicen ja Bobin saamat tulokset riippuisivat toisistaan. Siispä kun Alice saa tuloksen “vasen”, on puolella kerroista Bobinkin tulos “vasen” ja puolella taas ”oikea”. (Sama juttu, jos Alice saa tuloksen “oikea”.) 

 

Niin kauan, kun Charlie valmistaa spinit tällä tyylillä, ainoa tapa saada Alicen ja Bobin mittaustulokset riippumaan toisistaan on, että he mittaavat spinin suunnassa, jossa sen komponentti on jo valmiiksi hyvin määritelty. Itseasiassa Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen seurauksena spin, joka on yhdessä suunnassa hyvin määritelty, on tälle kohtisuorassa suunnassa täysin määrittelemätön, eli tämän komponentin mittaustulos on aivan satunnainen. Mutta Charliella on toinenkin ässä hihassaan: hän voi saada spinit riippumaan toisistaan “kvanttityylillä”, eli lomittamalla ne.  
 
Kvanttimekaniikan mukaan kahdesta osasta koostuvan systeemin Hilbertin avaruus on näiden osasysteemien Hilbertin avaruuksien tensoritulo. Käytännössä tämä tarkoittaa seuraavaa. Jos spin $A$ voi olla jossain mielivaltaisessa tilojen $|\uparrow\rangle_A$ ja $|\downarrow\rangle_A$ superpositiossa, ja spin $B$ voi olla myös tilojen $|\uparrow\rangle_B$ ja $|\downarrow\rangle_B$ mielivaltaisessa superpositiossa, yhdessä ne voivat olla tilojen $|\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B$,  $|\uparrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B$, $|\downarrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B$ ja $|\downarrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B$ mielivaltaisessa superpositiossa, jossa ympyröity rasti $\otimes$ tarkoittaa tensorituloa. Tämän tulon matemaattisia ominaisuuksia ei tarvitse tässä käydä läpi, vaan meille riittää, kun luemme sen matemaattisena versiona sanasta "ja". Esimerkiksi tila $|\uparrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B$ voidaan lukea muodossa "spin $A$ on tilassa $|\uparrow\rangle_A$ ja spin $B$ on tilassa $|\downarrow\rangle_B$".  
  
Nähdäksemme miten tämä toimii, palataan takaisin tilanteeseen, jossa Charlie valmistelee kaksi spiniä tilaan $|\uparrow\rangle$ ja Alice ja Bob mittaavat saamansa spinit vaakasuunnassa. Aaltoluonnetta koskevasta kohdasta tiedetään, että $|\uparrow\rangle = ( |\leftarrow\rangle + |\rightarrow\rangle ) / \sqrt{2}$, joten voidaan kirjoittaa:    
$$  
|\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|\leftarrow\rangle_A +|\rightarrow\rangle_A \right) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |\leftarrow\rangle_B + |\rightarrow\rangle_B \right).  
$$  
Tämä voidaan laskea auki, kun käytetään tensoritulon liitännäisyyttä, joka toimii samalla tavalla kuin tavallisessa kertolaskussa:  
$$  
\begin{aligned}  
|\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B =&  
\frac{1}{2} |\leftarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B + \frac{1}{2} |\leftarrow\rangle_A \otimes |\rightarrow\rangle_B \\  
&+ \frac{1}{2} |\rightarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B + \frac{1}{2} |\rightarrow\rangle_A \otimes |\rightarrow\rangle_B.  
\end{aligned}  
$$ 

Siispä spinien yhteistila on superpositio kaikista niistä yhdistelmistä, jotka voidaan saada kahdesta vaakasuuntaisesta, hyvin määritellystä spinkomponentista. Kvanttifysiikan kolmannen postulaatin mukaan (katso Questin kohta kvanttifysiikka) Alice ja Bob mittaavat minkä tahansa näistä tuloksista todennäköisyydellä $p = | 1/2 |^2 = 1/4$, niin kuin jo aiemmin ei-matemaattisesti todettiin. 

Huomaa, että viimeinen lauseke saatiin laskemalla auki yhden spinin tilojen $|\uparrow\rangle_A$ ja $|\uparrow\rangle_B$ tensoritulo. Kaikki kahden spinin tilojen superpositiot eivät kuitenkaan ole tätä muotoa. Esimerkiksi tila $|\Psi\rangle_{AB} = (|\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B +|\downarrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B) / \sqrt{2}$ ei ole yhden spinin tilojen tensoritulo. Yritä todistaa tämä itse! Näitä tiloja, joita ei voida esittää yhden spinin tilojen tulona, kutsutaan lomittuneiksi. Tämä käsite vaikuttaa melko matemaattiselta: viitataanhan siinä tilan matemaattiseen ominaisuuteen, eikä mihinkään fysikaaliseen ilmiöön. Vaikka tämä pätee yleisesti lomittumiseen (joka todellakin määritellään tilan matemaattisen esityksen avulla), joillakin lomittuneilla tiloilla voi olla paljon vahvempia korrelaatioita, kuin lomittumattomilla tiloilla. Palataanpa takaisin fysiikkaan.  
  
Kierros matematiikan parissa on ohi, ja ollaan jälleen Alicen, Bobin ja Charlien luona. Oletetaan nyt, että Charlie päättää valmistaa spinparit lomittuneessa tilassa $|\Psi\rangle_{AB} = (|\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B + |\downarrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B) / \sqrt{2}$. Olisi turhan monimutkaista selittää nyt, miten tämä käytännössä tehdään, mutta mainitaan kuitenkin sen verran, että tämä vaatii kahden spinin välistä vuorovaikutusta (mitä ei tapahtunut, kun Charlie valmisteli tiloja $|\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B$). Nyt Alice saa spinin $A$ ja Bob spinin $B$ ja kumpikin mittaa spinisä pystysuunnassa. Millaisia tuloksia voidaan odottaa? Käyttäen jälleen kvanttifysiikan kolmatta postulaattia näemme heti, että he molemmat saavat joko tuloksen “ylös” tai molemmat tuloksen “alas”, ja kummankin tapauksen todennäköisyys on $p=1/2$. Tilanne on siis samanlainen kuin silloin kun Charlie päätti kolikon avulla spinien tilan: Alice ja Bob saavat pystysuunnassa mitatessaan täsmälleen samat tulokset. Mutta katsotaanpa, mitä tapahtuu, jos Alice ja Bob mittaavatkin spininsä vaakasuunnassa. Käyttämällä jälleen tietoa $|\uparrow\rangle = ( |\leftarrow\rangle + |\rightarrow\rangle ) / \sqrt{2}$ ja $|\downarrow\rangle = ( |\rightarrow\rangle - |\leftarrow\rangle ) / \sqrt{2}$, saadaan:  
$$  
\begin{aligned}  
|\Psi\rangle_{AB} =& \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B + |\downarrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B \right) \\  
=& \frac{1}{2\sqrt{2}} \big[ (|\leftarrow\rangle_A + |\rightarrow\rangle_A ) \otimes (|\leftarrow\rangle_B + |\rightarrow\rangle_B) \\  
&+ (|\rightarrow\rangle_A - |\leftarrow\rangle_A) \otimes (|\rightarrow\rangle_B - |\leftarrow\rangle_B) \big] \\  
%=& \frac{1}{2\sqrt{2}} \big[ ( |\leftarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B + |\leftarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B) \\  
%&+ ( |\leftarrow\rangle_A \otimes |\rightarrow\rangle_B - |\leftarrow\rangle_A \otimes |\rightarrow\rangle_B) \\  
%&+ ( |\rightarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B - |\rightarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B) \\  
%&+ ( |\leftarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B + |\leftarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B) \\  
=& \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |\leftarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B + |\rightarrow\rangle_A \otimes |\rightarrow\rangle_B \right).  
\end{aligned}  
$$  
  
Viimeiseltä riviltä voimme heti nähdä, että myös vaakasuunnassa saatavat mittaustulokset riippuvat täysin toisistaan! Alice saa siis joka mittauksella saman tuloksen kuin Bob ja Bob saman kuin Alice: todennäköisyys sille, onko yhteinen tulos “vasen” vai “oikea” on jälleen $p = 1/2$.

Tämä on etsimämme "ylimääräinen" korrelaatio verrattuna kolikkoavusteiseen tilanteeseen. Ja tämä pätee itse asiassa missä suunnassa he mittauksen tekevätkin, kunhan suunta vain on molemmilla sama. Mielenkiintoista on, että tässä tilassa kumpikin mittaustulos on yhtä todennäköinen ja siten mahdoton ennustaa, mutta silti kaksi spiniä tuottavat aina saman mittaustuloksen.